[转载]浅谈算法——Splay

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原文作者：Wolfycz- 博客园
原文地址：浅谈算法——splay
转载已授权，下面正文。

前言
BST（二叉搜索树）十分优秀，但如果被卡成链的话，时间复杂度便成了，基于这种情况，tarjan便发明了splay这一平衡树，通过自身的动态变化，来防止自己变成一条链

操作
1.旋转
旋转式BST基本上都有此操作，不然不叫作旋转式，像fhqtreap那种非旋转式BST则没有该操作。网上大部分将旋转分为两个，ZIG与ZAG

感觉这张图一点都不清楚。。。~~其实是我懒得画一张了~~
左边到右边的是ZIG(x)，右边到左边是ZAG(y)
ZIG和ZAG的结合也有几种情况


但其实在了解splay旋转操作的本质之后，这些旋转只需要用一个函数来解决

首先我们需要明白，splay的旋转操作只会影响到3个点

将x旋到根之后，其父亲和其儿子会如上图般变化，其他点都不会受到影响。那么这个旋转如何用一个函数来实现呢？

#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
void move(int x){
    int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
    tree[x][T(x)^1]=fa;
    tree[fa][T(x)]=son;
    if (son)    f[son]=fa;
    f[x]=f[fa];
    if (f[x])   tree[f[x]][T(fa)]=x;
    f[fa]=x;
}

首先记录一下当前点的父亲，和其拐角后的儿子节点（先不管有没有父亲和儿子），然后将x的儿子改成fa，把fa的儿子改成son（记得改成拐角状）。

然后判断son是否存在，若存在，则f[son]=fa。

将x的父亲指向fa的父亲，不管fa的父亲是否存在（f[x]为零也可以）。

然后判断是否真正有f[x]（连边之后的父亲），如果有，那么将f[x]的儿子指向x，由于此时f[x]和fa的关系未断，因此可以直接用T(fa)，最后将fa的父亲指向x即可。

然后这就是单旋操作，双旋呢？其实也就一个函数

void splay(int x){
    while (f[x]){
        if (f[f[x]])    T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
        move(x);
    }
    root=x;
}

如果祖孙三点在一条线上，就先旋父亲，再旋自己，否则就旋自己再旋自己。

至于双旋的作用，你可以画一条链，然后把最下面那个点分别用单旋和双旋旋上来，然后看看这棵树旋完之后长啥样。一般来讲，单旋比双旋快，但是双旋不容易被卡。

准确来讲，我所放的第二个函数，旨在于将一个点splay到root上去，网上有那种旋到某个点下面的写法，但是那样写并不会多些什么操作，而且难写，因此我就写了这种只带一个参数的写法

Attention:move函数中的#define，对于之后的函数一直有效

2.插入
插入一个点的时候，从根节点找起，看要插入的点是要插在当前点的左边还是右边，如果要插在某一边且那一边刚好空着，就直接加进去即可，否则继续找。最后把插入的点splay到根，维护平衡

void insert(int x){
    val[++len]=x;
    if (!root){
        size[root=len]=1;
        return;
    }
    int i=root;
    while (true){
        size[i]++;
        if (x<=val[i]){
            if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
            i=ls(i);
        }else{
            if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
            i=rs(i);
        }
    }
    splay(len);
}

3.找前驱/后继
由于splay是一棵BST，因此找前驱的话，我们只需要找root的左儿子中，最右边的叶子节点；后继同理

int get_pre(){
    int x=ls(root);
    while (rs(x))   x=rs(x);
    return x;
}
int get_suc(){
    int x=rs(root);
    while (ls(x))   x=ls(x);
    return x;
}

4.查询
由于splay是棵二叉树，记录一下size之后便可以很容易找到排第k个的数是谁了

int find(int x,int i){
    if (!i) return 0;
    if (size[ls(i)]+1==x)   return i;
    if (x<=size[ls(i)])  return find(x,ls(i));
    return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}

5.删除
在通过某些特殊的方法得到需要删除的点的编号后（特殊方法什么的根据题意来），现将该点splay到根，如果左右儿子有一个空了，那么直接将那个没空的挪上来就好；否则就将其前驱/后继旋上来，然后判断一下x是new_root的左儿子还是右儿子，将x相应方向的儿子和new_root建立新的关系即可

void Delete(int x){
    splay(x);
    if (!(ls(x)&&rs(x))){
        f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
        clear(x);
        return;
    }
    int i=get_pre();
    splay(i);
    size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
    clear(x);
}

6.区间操作
多了区间操作的splay，为了防止越界，我们可以在最前面和最后面加上两个不动点，每次需要对区间[l,r]进行修改时，我们先把编号为l的点splay到根，再把编号为r+2的点splay到根，在旋的时候，l可能会变成r+2的孙子，我们把l单旋一下即可。这样子的话，l的左儿子就为我们需要求的那段区间了。

双旋的时候，2可能会变成5的孙子，那么我们把2单旋一下即可

splay的基本操作也就这些，下面我们来讲讲一个例题

例题
Tyvj 1728 普通平衡树
Description
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

  1. 插入x数
  2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
  3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
  4. 查询排名为x的数
  5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
  6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input
第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output
对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

Sample Output
106465
84185
492737

HINT
1.n的数据范围：n<=100000
2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

splay经典板子题，用到之前说的所有操作。删点的话，先找排名，然后找点删除。至于查询排名，由于BST的优美性质，所以判断一下往左右递归即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())    if (ch=='-')  f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())  x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if (x>=10)   write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
struct Splay{
    #define ls(x) tree[x][0]
    #define rs(x) tree[x][1]
    #define T(x) (rs(f[x])==x)
    int tree[N+10][2],f[N+10],size[N+10],val[N+10],root,len;
    void updata(int x){size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
    void clear(int x){f[x]=size[x]=ls(x)=rs(x)=0;}
    void move(int x){
        int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
        tree[x][T(x)^1]=fa;
        tree[fa][T(x)]=son;
        if (son)    f[son]=fa;
        f[x]=f[fa];
        if (f[x])   tree[f[x]][T(fa)]=x;
        f[fa]=x;
        updata(fa),updata(x);
    }
    void splay(int x){
        while (f[x]){
            if (f[f[x]])    T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
            move(x);
        }
        root=x;
    }
    int get_pre(){
        int x=ls(root);
        while (rs(x))   x=rs(x);
        return x;
    }
    int get_suc(){
        int x=rs(root);
        while (ls(x))   x=ls(x);
        return x;
    }
    void Delete(int x){
        splay(x);
        if (!(ls(x)&&rs(x))){
            f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
            clear(x);
            return;
        }
        int i=get_pre();
        splay(i);
        size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
        clear(x);
    }
    void insert(int x){
        val[++len]=x;
        if (!root){
            size[root=len]=1;
            return;
        }
        int i=root;
        while (true){
            size[i]++;
            if (x<=val[i]){
                if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
                i=ls(i);
            }else{
                if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
                i=rs(i);
            }
        }
        splay(len);
    }
    int find(int x,int i){
        if (!i) return 0;
        if (size[ls(i)]+1==x)   return i;
        if (x<=size[ls(i)])  return find(x,ls(i));
        return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
    }
    int get_rank(int x){
        int res=0;
        for (int i=root;i;) val[i]<x?res+=size[ls(i)]+1,i=rs(i):i=ls(i);
        return res+1;
    }
    void DELETE(int x){Delete(find(get_rank(x),root));}
    void GETRANK(int x){printf("%d\n",get_rank(x));}
    void RANK_GET(int x){printf("%d\n",val[find(x,root)]);}
    void GET_PRE(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x)-1,root)]);}
    void GET_SUC(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x+1),root)]);}
}Tree;
int main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int flag=read(),x=read();
        if (flag==1)    Tree.insert(x);
        if (flag==2)    Tree.DELETE(x);
        if (flag==3)    Tree.GETRANK(x);
        if (flag==4)    Tree.RANK_GET(x);
        if (flag==5)    Tree.GET_PRE(x);
        if (flag==6)    Tree.GET_SUC(x);
    }
    return 0;
}

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发布者：TaK-Vin

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